Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.

Los polinomios de Hermite se definen como:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

(los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!}$.

Los polinomios físicos pueden expresarse como:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }$

Polinomio de Bernstein

Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales, que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico. El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein.

El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de De Casteljau.

Un polinomio de Bernstein ${\displaystyle P(x)\,}$ de orden n aproxima una función ${\displaystyle f(x)\,}$ en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n, a partir de esta fórmula:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}B_{i}^{n}(x)}}$

donde los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)}$ son elementos de la distribución binomial respecto de la variable ${\displaystyle x\,}$ y los ${\displaystyle c_{i}\,}$ son valores de la función que queremos aproximar.

Para aproximar la función en el intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$ estos elementos toman los siguientes valores:

${\displaystyle c_{i}=f\left({\frac {i}{n}}\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}$

(aquí ${\displaystyle {n \choose i}}$ es el coeficiente binomial).

y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$, los ${\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}}$ se convierten en polinomios de la base de Bernstein:

${\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}$

Así, la fórmula general desarrollada es:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right){\frac {n!}{i!(n-i)!}}{\frac {(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}}{(b-a)^{n}}}}}$